作业帮帮我做一下矩阵的题吧设M 是2x2对称的实数矩阵.其两个特征值λ0和λ1,1)如果其两个特征值均为正,证明,对于任何二维向量x,0≤xTMx≤ (max(λ0,λ1))xTx.2)如果一个特征值为0,证明存在不为0的向量x,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 11:19:01
帮我做一下矩阵的题吧设M 是2x2对称的实数矩阵.其两个特征值λ0和λ1,1)如果其两个特征值均为正,证明,对于任何二维向量x,0≤xTMx≤ (max(λ0,λ1))xTx.2)如果一个特征值为0,证明存在不为0的向量x,
帮我做一下矩阵的题吧
设M 是2x2对称的实数矩阵.其两个特征值λ0和λ1,
1)如果其两个特征值均为正,证明,对于任何二维向量x,0≤xTMx≤ (max(λ0,λ1))xTx.2)如果一个特征值为0,证明存在不为0的向量x,满足Mx = 0.3)如果特征值一负一正,证明存在不为0的向量x,满足xTMx = 0 4)如果对于任何x,有xTMx>0,则称M是正有限矩阵,如果M是对称的、实数的、且是正有限矩阵,那么其特征值有什么特点?
帮我做一下矩阵的题吧设M 是2x2对称的实数矩阵.其两个特征值λ0和λ1,1)如果其两个特征值均为正,证明,对于任何二维向量x,0≤xTMx≤ (max(λ0,λ1))xTx.2)如果一个特征值为0,证明存在不为0的向量x,
定义二元函数f(x)=x^{T}Mx,则易知它是连续的
1）存在正交阵A,使得A^{T}MA=diag{λ0,λ1},对所有的二维向量x,由A的可逆性,存在二维向量y,满足Ay=x,则f(x)=f(Ay)=x^{T}A^{T}MAx=λ0x1^{2}+λ1x2^{2}≤ (max(λ0,λ1))(x1^{2}+x2^{2})= (max(λ0,λ1))xTx
2)取0的特征向量即可
3)不妨设λ00,则取λ0的特征向量x0和λ1的特征向量x1,并且不妨设原点不在x0与x1的连线上,有f(x0)=x0^{T}Mx0=λ0x0^{T}x00,则由二元连续函数的零点存在定理,可知存在不为0的向量x,使得f(x)=x^{T}Mx=0.
4）M实对称阵,对于任何x,有x^{T}Mx>0,说明M是正定阵,从而它的特征值全大于0
按这里，x应该是列向量
1)对实对称阵M，存在正交阵T，把M化为主对角线上全是其特征值的对角阵，则对于任何二维向量x，xTMx=y1*λ0^2+y2*λ1^2≤ (max(λ0, λ1)*（y1^2+y2^2）=(max(λ0, λ1))xTx
2)如果一个特征值为0，则说明M的秩＝1，那么线性方程组Mx = 0一定有非零解x
3）若特征值为一正一负，因为对实对称阵M，存在...
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按这里，x应该是列向量
1)对实对称阵M，存在正交阵T，把M化为主对角线上全是其特征值的对角阵，则对于任何二维向量x，xTMx=y1*λ0^2+y2*λ1^2≤ (max(λ0, λ1)*（y1^2+y2^2）=(max(λ0, λ1))xTx
2)如果一个特征值为0，则说明M的秩＝1，那么线性方程组Mx = 0一定有非零解x
3）若特征值为一正一负，因为对实对称阵M，存在正交阵T，把M化为主对角线上全是其特征值的对角阵，即T'MT为主对角线上全是其特征值的对角阵，则Y'T'MTY＝x1*λ0^2+x2*λ1^2=0，（其中Y'为列向量,X'=(x1,x2)',X'=Y'T'）
4）特征值一定为正实数
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