高数,极限和导数问题F'(a)>0,根据保号性推出,存在ε>0使得当00则F(x)在a的一个邻域内递增,为什么是错的?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/13 06:09:20

高数,极限和导数问题F'(a)>0,根据保号性推出,存在ε>0使得当00则F(x)在a的一个邻域内递增,为什么是错的?
高数,极限和导数问题
F'(a)>0,根据保号性推出,存在ε>0使得当00则F(x)在a的一个邻域内递增,
为什么是错的?

高数,极限和导数问题F'(a)>0,根据保号性推出,存在ε>0使得当00则F(x)在a的一个邻域内递增,为什么是错的?
错误的原因如下：
由导数的定义可知,
F'（a）=lim（Δx->0）(F(a + Δx) - F(a)) / Δx >0,
显然导数包括左导数与右导数,我们不妨先从右导数考虑,即：
F'（a）=lim（Δx->0+）(F(a + Δx) - F(a)) / Δx >0,（此时Δx从正向趋近于0,即Δx >0）
由极限的局部保号性可知,存在一个ε>0,使得0 0；
该式只能表明在x ∈[a,a+ε)这个区间上时,函数F（x）有最小值F（a）；
同理,当考虑其左导数（即Δx从负向趋近于0）时,
只能得出在x ∈（a-ε,a]这个区间上时,函数F（x）有最大值F（a）；
综上最多只能推出当x1、x2∈（a-ε,a+ε）且x1 > a > x2 时,有F（x1）>F（x2）,而不能推出你的结论,即F(x)在a的一个邻域内递增.
从理解上来说,在这个求导取极限的过程中,是将所有x在x=a附近的邻域的函数值与F（a）进行比较,而要得出你的结论,即F'(a)>0则F(x)在a的一个邻域(不妨设为（a-ε,a+ε）,ε>0)内递增,那么必须要能够比较在该区间上任意两个函数值的大小,而实际上,例如比较F(a+ε/2)和F(a+ε/3)的大小,而这根据F'（a）> 0是无法得出大小比较的.所以你的结论是错误的；或者说结论太强,可能需要补充更多的条件才能够得出.

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