作业帮【高三数学】不等式基本性质的证明题》》》当p,q都为正数,且p+q=1时,试比较(px+qy)^2与px^2+qy^2的大小.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 04:25:33
【高三数学】不等式基本性质的证明题》》》当p,q都为正数,且p+q=1时,试比较(px+qy)^2与px^2+qy^2的大小.
【高三数学】不等式基本性质的证明题》》》
当p,q都为正数,且p+q=1时,试比较(px+qy)^2与px^2+qy^2的大小.
【高三数学】不等式基本性质的证明题》》》当p,q都为正数,且p+q=1时,试比较(px+qy)^2与px^2+qy^2的大小.
(px+qy)²-(px²+qy²)=(p²-p)x²+(q²-q)y²+2pqxy
=p(p-1)x²+q(q-1)y²+2p(1-p)xy
=p(p-1)x²+(1-p)(-p)y²-2p(p-1)xy
=p(p-1)x²+(p-1)py²-2p(p-1)xy
=p(p-1)(x-y)²=-pq(x-y)²
高三的话，柯西不等式就学了吧。
用柯西不等式就好了。。（p+q）(px^2+q^2)>=(px+qy)^2
即(px^2+q^2)>=(ps+qy)^2
注：(a^2+b^2)(c^2+d^2) （a,b,c,d∈R)
＝a^2·c^2 ＋b^2·d^2＋a^2·d^2＋b^2·c^2
＝a^2·c^2 ＋2abcd＋b^2·d^2＋a^2·...
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高三的话，柯西不等式就学了吧。
用柯西不等式就好了。。（p+q）(px^2+q^2)>=(px+qy)^2
即(px^2+q^2)>=(ps+qy)^2
注：(a^2+b^2)(c^2+d^2) （a,b,c,d∈R)
＝a^2·c^2 ＋b^2·d^2＋a^2·d^2＋b^2·c^2
＝a^2·c^2 ＋2abcd＋b^2·d^2＋a^2·d^2－2abcd＋b^2·c^2
＝(ac＋bd)^2＋(ad－bc)^2
≥(ac＋bd)^2，等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。
收起
分析： 若设线段AB的中点为E,线段PQ的中点为F，若能证明E,F是同一点的话就可以说明AE=BE,PE=QE
而AP=AE-PE BQ=BE-QE
从而得证
（1）设直线AB的直线方程为 y=mx+n（1） 线段AB的中点为E,线段PQ的中点为F
（1）代入x^2/a^2-y^2/b^2=k展开整理得
(b^2-a^2*m^2)x^2-2a^2...
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分析： 若设线段AB的中点为E,线段PQ的中点为F，若能证明E,F是同一点的话就可以说明AE=BE,PE=QE
而AP=AE-PE BQ=BE-QE
从而得证
（1）设直线AB的直线方程为 y=mx+n（1） 线段AB的中点为E,线段PQ的中点为F
（1）代入x^2/a^2-y^2/b^2=k展开整理得
(b^2-a^2*m^2)x^2-2a^2*m*n*x+a^2*m^2-a^2*b^2*k=0
E的横坐标＝(x1+x2)/2=2a^2*m*n/(b^2-a^2*m^2)
(1)代入x^2/a^2-y^2/b^2=1展开整理得
(b^2-a^2*m^2)x^2-2a^2*m*n*x+a^2*m^2-a^2*b^2=0
F的横坐标＝(x1+x2)/2=2a^2*m*n/(b^2-a^2*m^2)
所以E的横坐标与F的横坐标相等即E,F为同一点
所以AE=BE,PE=QE
而AP=AE-PE BQ=BE-QE
从而得证 AP=BQ
收起
证明：由p,q＞0,p+q=1及柯西不等式可知，px²+qy²=(p+q)(px²+qy²)≥(px+qy)².等号仅当p/(px²)=q/(qy²)时取得，即当x=y时取得，故(px+qy)²≤px²+qy².