已知A的平方加2倍B的平方=6.求A+B的最小值?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/13 06:04:50

已知A的平方加2倍B的平方=6.求A+B的最小值?
已知A的平方加2倍B的平方=6.求A+B的最小值?

已知A的平方加2倍B的平方=6.求A+B的最小值?
三角换元令A=√6cosx B=√3sinx
A+B=√6cosx+√3sinx=3sin(x+a）
所以最小值为-3(其中sina==√6/3
cosa=√3/3

A²+2B²=6
由柯西不等式
(1+1/2)(A²+2B²)≥(A+B)²
所以(A+B)²≤(1+1/2)(A²+2B²)=3/2*6=9
A+B≤3
当且仅当1/A²=1/2/2B²即A=2B即A=2,B=1时取等号
所以A+B最小值为3

当直线x+y=b 和椭圆x²/6 + y²/3=1 相切时，有最值
把直线带入椭圆
3y²-2by +b²-6=0
判别式=0
b²=9
最小值=-3

呵呵，楼上做法甚妙，不过有个小地方有误。
由柯西不等式
(1+1/2)(A²+2B²)≥(A+B)²
所以(A+B)²≤(1+1/2)(A²+2B²)=3/2*6=9
此后开根号时要注意加绝对值，即|A+B|≤3，
因此A+B的最小值是-3。

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