如图,在圆S中,AB是直径,AC,BC是弦,D是圆S外一点,且DC与圆S相切于点C,连接DS、DB,其中DS交BC于E,交圆S于F,F为弧BC的中点（1）求证：DB=DC（2）若AB=10,AC=6,P是线段DS上的动点,设DP长为x,四边形ACDP面积为

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/07 01:58:36

如图,在圆S中,AB是直径,AC,BC是弦,D是圆S外一点,且DC与圆S相切于点C,连接DS、DB,其中DS交BC于E,交圆S于F,F为弧BC的中点（1）求证：DB=DC（2）若AB=10,AC=6,P是线段DS上的动点,设DP长为x,四边形ACDP面积为
证明（1）因为点F为弧BC的中点
所以角CDF=角BDF
所以DF为三角形BCD的角平分线
连接CS
因为CS=SB（半径）
所以角ECS=角EBS
因为DC与圆S相切于点C DB与圆相切于点B（由图可知）
所以角SCD=角SBD=90度
所以角CSE=角BSE（由四边形内角和）
所以DS垂直于BC
所以EB=EC,三角形DBC为等腰三角形
所以DB=DC所以原题得证.
（2）①由题意有 AS=5
所以三角形ABC与三角形BES相似
所以 ES=3
所以 EC=4
由余弦定理有 COS角BSE=（9+25-16）/（2X3X5）=3/5
所以在三角形DSB中COS角ESB=SB/DS=3/5
解得DS=25/3
DE=16/3
所以Y=三角形DCE面积+梯形CASE面积-三角形APS面积
三角形DCE面积=1/2 X CE X ED=32/3
梯形CASE面积 = （CA+ES）X CE X 1/2 =18
由COS角BSE=3/5有 COS角ASE=COS（π-角BSE）=-3/5
所以Sin角ASE=根号（1-COS角ASE）=4/5
三角形PAS面积=1/2 X AS X PS X Sin角ASE= 5/2 X 4/5 X（25/3 - x）=50/3-2x
所以Y=18+32/3-50/3-2x=12-2x
所以y与x的函数关系式为y=12-2x
②要使三角形PAC的周长最短即求PA+PC最短
即当三点共线时
即点PAC共线时最短 C的对称点为B
故当点P位于S时,三角型周长为16
此时x=DS=25/3
过程大致上如上,计算还需检验,如有计算错误请楼主自行改正下,