x→0,求[√(1+tanx)-√(1+sinx)]/[x(1-cosx)]的极限

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/14 19:58:43
x→0,求[√(1+tanx)-√(1+sinx)]/[x(1-cosx)]的极限

x→0,求[√(1+tanx)-√(1+sinx)]/[x(1-cosx)]的极限
x→0,求[√(1+tanx)-√(1+sinx)]/[x(1-cosx)]的极限

x→0,求[√(1+tanx)-√(1+sinx)]/[x(1-cosx)]的极限
分子有理化
原式
=(tanx-sinx)/{x(1-cosx)[√(1+tanx)+√(1+sinx)]} (∵tanx-sinx=tanx(1-cosx))
=tanx/{x[√(1+tanx)+√(1+sinx)]}
=(sinx/x)(1/cosx)/[√(1+tanx)+√(1+sinx)]
-->1×(1/1)×[1/(1+1)]
=1/2

lim(x→0)[√(1+tanx)-√(1+sinx)]/[x(1-cosx)]
=lim(x→0)(tanx-sinx)/{[x(1-cosx)][√(1+tanx)+√(1+sinx)]}
=lim(x→0)tanx/{x[√(1+tanx)+√(1+sinx)]}
=1/2

x→0时 (1+x)^a→1+ax tanx→x 所以[√(1+tanx)-√(1+sinx)]/[x(1-cosx)]=[1+(1/2)tanx-1-(1/2)sinx]/[x(1-cosx)]=(1/2)(tanx-sinx)/[x(1-cosx)]=(1/2)tanx(1-cosx)/[x(1-cosx)]=(1/2)tanx/x=1/2