射影定理的证明 不要用相似,用勾股定理

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 04:19:27
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射影定理的证明 不要用相似,用勾股定理
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作Rt△ABC,∠A=90°,AD⊥BC,点D在BC上,所以△ADB和△ACD都是Rt△,所以BC=BD+CD.
那么射影定理（1）AD^2=BD*CD ；（2）AB^2=BD*BC；（3）AC^2=CD*BC
根据勾股定理有：
AB^2+AC^2=BC^2 -式1
AD^2+BD^2=AB^2 -式2
AD^2+CD^2=AC^2 -式3
将式2和式3中的AB^2、AC^2代入式1,可得：
AD^2+BD^2 + AD^2+CD^2 =(BD+CD)^2 化简得：
AD^2=BD*CD 得证（1）.
式2与式3中的AD^2相等,可得AB^2-BD^2 = AC^2-CD^2,将式1中的AC^2和CD=BC-BD 代入得：
AB^2-BD^2=BC^2-AB^2-(BC-BD)^2
2AB^2=BC^2+BD^2-(BC^2-2BD*BC+BD^2)
AB^2=BD*BC 得证（2）.
同理可以证明（3）成立.

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