作业帮求极限~lim n[e-(1+1/n)^n] n->无穷lim n[e-(1+1/n)^n] n->无穷
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 12:54:19
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求极限~lim n[e-(1+1/n)^n] n->无穷lim n[e-(1+1/n)^n] n->无穷
求极限~lim n[e-(1+1/n)^n] n->无穷
lim n[e-(1+1/n)^n] n->无穷
求极限~lim n[e-(1+1/n)^n] n->无穷lim n[e-(1+1/n)^n] n->无穷
lim(n->∞) n[e-(1+1/n)^n]
=lim(n->∞) n{ e-e^[nln(1+1/n)]}
=lim(n->∞) -e*n{ e^[nln(1+1/n) - 1] - 1 }
∵(n->∞) t = [nln(1+1/n) - 1] -> 0 ,e^t -1 t
=lim(n->∞) -e* n [nln(1+1/n) - 1]
∵ ln(1+1/n) = 1/n - 1/2n^2 + o(1/n^2) ,
注：此处极限也可用罗必塔法则
=lim(n->∞) -e* [ n - 1/2 + o(1) - n ]
= e/2
0
因为e的定义就是 从lim (1+1/n)^n n趋向无穷来的~
大家发现这个极限是个常数，以后也经常用到，就用e来统一定义了！
答案是e/2
先把1/n放到分母，n->无穷用x->0替换，用洛比达法则分子分母求导，
（1+x）^1/x求导时化成e为底的函数再求
此时已化成-e*lim[ln(1+x)/x]',（’为导数），求导，分母的（1+x）可以去掉了，再用一次洛比达法则，然后ln（1+x）用等价无穷小x代替，OK...
全部展开
答案是e/2
先把1/n放到分母，n->无穷用x->0替换，用洛比达法则分子分母求导，
（1+x）^1/x求导时化成e为底的函数再求
此时已化成-e*lim[ln(1+x)/x]',（’为导数），求导，分母的（1+x）可以去掉了，再用一次洛比达法则，然后ln（1+x）用等价无穷小x代替，OK
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结果是e/2，令x=1/n,原式=[e-(1+x)^(1/x)]/x,根据洛必达法则等于分子分母各自导数的商，在此即分子在x=0处的导数值，这又是一个极限式，提取式中的（1+x)^(1/x)(极限=e),对式中的ln（1+x）用泰勒公式展开取一阶式再求极限即可得到结果。
一种L'Hospital 法则将n用x替换转换成函数的极限
第二种按照定义(1+1/n)^n=e^n㏑(1+1/n)
对㏑(1+1/n)用Taylor展开式（1+1/n)^n=e^n㏑(1+1/n)=e^(1-1/2n+o(1/n))
[e-(1+1/n)^n] =e*(1-e^（-1/2n+o(1/n)）)
e^-1/2n+o(1/n)=1-1/2n+o(1/n)...
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一种L'Hospital 法则将n用x替换转换成函数的极限
第二种按照定义(1+1/n)^n=e^n㏑(1+1/n)
对㏑(1+1/n)用Taylor展开式（1+1/n)^n=e^n㏑(1+1/n)=e^(1-1/2n+o(1/n))
[e-(1+1/n)^n] =e*(1-e^（-1/2n+o(1/n)）)
e^-1/2n+o(1/n)=1-1/2n+o(1/n)
所以[e-(1+1/n)^n] =e*(1-e^-1/2n+o(1/n))=e/2n+o(1/n)
所以原式=e/2
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