作业帮已知a,b为正实数,且a+b=1,则（1+1除以a）（1+1除以b）的最小值?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 07:40:24
已知a,b为正实数,且a+b=1,则（1+1除以a）（1+1除以b）的最小值?
已知a,b为正实数,且a+b=1,则（1+1除以a）（1+1除以b）的最小值?
已知a,b为正实数,且a+b=1,则（1+1除以a）（1+1除以b）的最小值?
∵a+b=1, ∴(a+b)²=1
∴（1+1/a）（1+1/b）
=1+1/a+1/b+1/(ab) (乘开）
=1+(a+b)/a+(a+b)/b+(a+b)²/(ab) （分子得1换成a+b,和（a+b)² )
=1+1+b/a+a/b+1+(a²+b²+2ab)/(ab)
=3+b/a+a/b+a/b+b/a+2
=5+2b/a+2a/b
∵a,b>0
∴2b/a+2a/b≥2√[(2b/a)*(2a/b)]=4
∴5+2b/a+2a/b≥9
当a/b=b/a ,a=b时,取等号
∴a=b=1/2时,（1+1/a）（1+1/b）取得最小值9
因为a+b=1
所以（1+1/a)(1+1/b)=[1+(a+b)/a][1+(a+b)/b]=(2+b/a)(2+a/b)=4+2(b/a+a/b)+1=5+2(b/a+a/b)≥5+4=9(均值不等式。a b为正数）
（1+1/a)(1+1/b)≥9
最小值为9
(1+1/a)(1+1/b)=1+1/a+1/b+1/ab=1+(a+b)/ab + 1/ab=1+2/ab
因为a+b=1，所以当a=b=0.5时ab有最大值
则1+2/ab最小值为1+4=5
因为(a+b)=1.所以(1+1/a)(1+1/b)=（(1+1/a)(1+1/b)）(a+b)=(a+b+1+b/a)(a+b+1+a/b)=(2+b/a)(2+a/b)=4+2a/b+2b/a+1=4+2(a/b+b/a)
因为(a+b)=1.a,b是正实数，则(a/b+b/a)>=1。所以(1+1/a)(1+1/b)>=4+2=6。最小值为6