作业帮设mxn实矩阵A的秩为n,证明:矩阵A^TA为正定矩阵.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 01:12:41
设mxn实矩阵A的秩为n,证明:矩阵A^TA为正定矩阵.
设mxn实矩阵A的秩为n,证明:矩阵A^TA为正定矩阵.
设mxn实矩阵A的秩为n,证明:矩阵A^TA为正定矩阵.
证: 首先 (A^TA)^T = A^T(A^T)^T = A^TA
故 A^TA 是对称矩阵.
又对任一非零列向量x
由 r(A) = n 知 AX=0 只有零解
所以 Ax ≠ 0
再由A是实矩阵,
所以 (Ax)^T(Ax) > 0
即 x^T(A^TA)x > 0
所以 A^TA 是正定矩阵.
设mxn实矩阵A的秩为n,证明:矩阵A^TA为正定矩阵.
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