怎么证明（7^n-1)是3的倍数?n是正整数.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/09 06:45:27

怎么证明（7^n-1)是3的倍数?n是正整数.
怎么证明（7^n-1)是3的倍数?n是正整数.

怎么证明（7^n-1)是3的倍数?n是正整数.
7^n=(6+1)^n二项式展开（太复杂,用百度很难打出来,在纸上就容易多了）,展开后,所有项出最后一项外均有因子6,而最后一项为1,减掉后显然可以整除6,也就整除3了.

二项式定理展开即可

7^n=(6+1)^n,用二项是展开，每一项为B*(6^j),B为常数，j=1……n，因此，当j=0时，该项为1，故7^n-1为6的倍数，自然为3的倍数

全部展开

(1)当n为奇数时,
7^n-1
=(7-1)*[7^(n-1)+7^(n-2)+7^(n-3)+...+7^2+7+1]
=6*[7^(n-1)+7^(n-2)+7^(n-3)+...+7^2+7+1]
=3*2*[7^(n-1)+7^(n-2)+7^(n-3)+...+7^2+7+1],是3的倍数;
(2)当n为偶数时,
7^n-1
=[7^(n/2)-1][7^(n/2)+1]
如果n/2是奇数,则按照(1)是3的倍数,
如果n/2是偶数,则可依(2)继续做下去,直到n/2=1为止,
从而7^n-1=(7-1)*M=6M,是3的倍数.
所以综合上述,7^n-1必定是3的倍数.

收起

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