求解数理统计题目λ分之1, 0

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 00:33:15
求解数理统计题目λ分之1, 0

求解数理统计题目λ分之1, 0
求解数理统计题目
λ分之1, 0设x的概率密度为f(x,λ)＝ （0<λ<+∞）,
0, 其它
设X1,X2,X 3,X 4是X的四个独立观察值,试证明估计值λ1 ＝（4分之5） max(X1,X2,X 3,X 4)和估计值λ2 ＝5min(X1,X2,X 3,X 4)都是λ的无偏估计,并比较它们的有效性.

求解数理统计题目λ分之1, 0
X的分布函数为F(x)=0,x<0时；F(x)=x/λ,0<=x<=λ时；F(x)=1,x>λ时.
M=max(X1,X2,X 3,X 4)的分布函数为[F(x)]^4,
概率密度为4[F(x)]^3*f(x)=4x^3/λ^4,0<=x<=λ时,其他为0.
EM=∫[0,λ]x*4x^3/λ^4dx=(4/λ^4)∫[0,λ]x^4dx=4λ/5.
E(λ1)=(5/4)EM=λ.
λ1是λ的无偏估计.
EM^2=∫[0,λ]x^2*4x^3/λ^4dx=2λ^2/3,
DM=EM^2-(EM)^2=2λ^2/75.
D(λ1)=(25/16)DM=λ^2/24.
N=min(X1,X2,X 3,X 4)的分布函数为1-[1-F(x)]^4,
概率密度为4[1-F(x)]^3*f(x)=(4/λ)(1-x/λ)^3,0<=x<=λ时
,其他为0.
EN=∫[0,λ]x*(4/λ)(1-x/λ)^3dx=λ/5,
E(λ2)=5EN=λ.
λ2是λ的无偏估计.
EN^2=∫[0,λ]x^2*(4/λ)(1-x/λ)^3dx=λ^2/15,
DN=2λ^2/75,
D(λ2)=25DN=2λ^2/3.
D(λ1)

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