已知a为常数,求函数f(x)等于负x的立方加3ax(0小于或等于x小于或等于1)的最大值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 02:45:33
已知a为常数,求函数f(x)等于负x的立方加3ax(0小于或等于x小于或等于1)的最大值

已知a为常数,求函数f(x)等于负x的立方加3ax(0小于或等于x小于或等于1)的最大值
已知a为常数,求函数f(x)等于负x的立方加3ax(0小于或等于x小于或等于1)的最大值

已知a为常数,求函数f(x)等于负x的立方加3ax(0小于或等于x小于或等于1)的最大值
求函数f(x)=-x3+3ax的导数,对方程f'(x)=-3(x2-a)=0有无实根,和有根,根是否在区间[0,1]内进行讨论,求得函数的极值,再与f(0)、f(1)比较大小,确定函数的最大值.
f'(x)=-3x2+3a=-3(x2-a)
若a≤0,则f'(x)=-3(x2-a)≤0,此时函数f(x)单调递减,
所以当x=0时,f(x)取得最大值,f(x)max=f(0)=0
若a>0,令f'(x)=-3(x2-a)=0,解得 x=±√a,
∵x∈[0,1],则只考虑 x=√a的情况,如表所示:
x (0,√a) √a (√a,+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) ↑ 极大值 ↓
①当0<a<1时,根据函数的增减性得,
当 x=√a时,f(x)有最大值,f(x)max=f(√ a)= 2a√a;
②当 √a≥1,即a≥1时,根据函数的增减性得
当x=1时,f(x)有最大值.f(x)max=f(1)=3a-1.
综合以上可知:
当a≤0时,x=0,f(x)有最大值0;
当0<a<1时,x= √a,f(x)有最大值 2a√a;
当a≥1时,x=1,f(x)有最大值3a-1.

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