作业帮一个各项为正数的等比数列{an},满足a4+a3-a2-a1=5,求a5+a6的最小值.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 11:07:35
一个各项为正数的等比数列{an},满足a4+a3-a2-a1=5,求a5+a6的最小值.
一个各项为正数的等比数列{an},满足a4+a3-a2-a1=5,求a5+a6的最小值.
一个各项为正数的等比数列{an},满足a4+a3-a2-a1=5,求a5+a6的最小值.
设公比为 q ,则由已知得 q>0 ,
所以 a4+a3-a2-a1=a1(q^3+q^2-q-1)=5 ,
设 a5+a6=t=a1(q^4+q^5) ,
因此 t/5=(q^4+q^5)/(q^3+q^2-q-1)=q^4(q+1)/[(q+1)^2(q-1)]=q^4/(q^2-1) ,
化简得 5q^4-t*q^2+t=0 ,
所以,二次方程 5x^2-tx+t=0 至少有一个正根 ,
由于 t>0 ,因此方程的两个根均为正数,所以 t^2-20t>=0 且 t/5>0 ,
解得 t>=20 ,
也就是 a5+a6 最小值为 20 .（此时 q=√2 ,a1=5(√2-1) ）
等比数列各项均为正，则首项a1>0，公比q>0。
a4+a3-a2-a1=5
a1q²(1+q)-a1(1+q)=5
a1(1+q)(q²-1)=5
a1(q+1)²(q-1)=5
a1=5/[(q+1)²(q-1)]
a1>0，q-1>0 q>1
a5+a6=a1q⁴(q+1)
...
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等比数列各项均为正，则首项a1>0，公比q>0。
a4+a3-a2-a1=5
a1q²(1+q)-a1(1+q)=5
a1(1+q)(q²-1)=5
a1(q+1)²(q-1)=5
a1=5/[(q+1)²(q-1)]
a1>0，q-1>0 q>1
a5+a6=a1q⁴(q+1)
=5q⁴(q+1)/[(q+1)²(q-1)]
=5q⁴/(q²-1)
=（5q⁴-5q²+5q²-5+5)/(q²-1)
=[5q²(q²-1)+5(q²-1)+5]/(q²-1)
=5q² +5 +5/(q²-1)
=5(q²-1) +5/(q²-1) +10
q>1，q²-1>0，
5(q²-1)>0，5/(q²-1)>0
由均值不等式得，当5(q²-1)=5/(q²-1)时，即q=√2时，5/(q²-1)+5/(q²-1)有最小值10
此时a5+a6有最小值(a5+a6)min=10+10=20。
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