已知x^2+y^2=z^2,求证：xyz是60的倍数.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 21:33:16

已知x^2+y^2=z^2,求证：xyz是60的倍数.
已知x^2+y^2=z^2,求证：xyz是60的倍数.

已知x^2+y^2=z^2,求证：xyz是60的倍数.
（1）如果x、y、z 都不是 3 的倍数,则由 (3k±1)^2=3(3k^2±2k)+1 知,x^2、y^2、z^2 被 3 除都余 1 ,等式左边被 3 除余 2 ,右边被 3 除余 1 ,矛盾,
因此 3|xyz ；
（2）由等式可知,x、y、z 不可能都是奇数；
如果 z 是偶数,假如 x、y 是奇数,则左边模 4 余2 ,右边模 4 余 0 ,所以如果 z 是偶数,则 x、y 都是偶数；
不妨设 x 为偶数,y、z 为奇数.则由 (2k+1)^2=4k(k+1)+1 知,y^2、z^2 模 8 余 1 ,
因此 x^2=z^2-y^2 中,右边是 8 的倍数,所以 x 必是 4 的倍数 ,
所以,总有 4|xyz ；
（3）因为 (5k±1)^2=5(5k^2±2k)+1 ,(5k±2)^2=5(5k^2±4k)+4 ,
所以,如果 x、y、z 都不是 5 的倍数,则等式左边模 5 余 2 或 0 或 8 ,右边模 5 余 1 或 4 ,
等式不可能成立,因此 5|xyz ；
综上可得 60|xyz .

已知x^2+y^2+z^2=1,求证x+y+z-2xyz 已知x,y,z>0,xyz(x+y+z)=1,求证（x+y）(x+z)>=2 已知x,y,z都是正数,且xyz=1,求证：x^2/(y+z)+y^2/(x+z)+z^2/(x+y)≥3/2 已知x+y+z=0,xyz=1,求证：x,y,z中必有一个大于2/3. 已知x、y、z满足x+y+z=xyz,求证：x(1-y^2)(1-z^2)+y(1-x^2)(1-z^2)+z(1-x^2)(1-y^2)=4xyz 已知x^2+y^2=z^2,求证：xyz是60的倍数. xyz=1,求证：x/(1+y)+y/(1+z)+z/(1+x) >=3/2 已知X,Y,Z为三个互不相等的数,且X+ 1/Y =Y+ 1/Z = Z+ 1/X.求证：(XYZ)^2 = 1 若xyz=1,求证 x^2/(y+z)+y^2/(z+x)+z^2/(x+y)≥3/2 xyz是正实数,求证：x/（y+z）+y/（z+x）+z/（x+y）>=3/2 已知非零实数xyz,满足x+y+z=xyz,x^2=yz,求证x^2大于等于3 已知x.y.z属于R,求证:(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)大于等于8xyz 已知x+y+z=1/x+1/y+1/z=1,求证：xyz中至少有一个是1xyz-(yz+xz+xy)+x+y+z-1=0 是怎么到(x-1)(y-1)(z-1)=0 x^2+y^2+z^2+2xyz-1=0 是怎么到(x-1)(y-1)(z-1)=0 已知xyz为正实数,且x+2y+z=2,求xyz最大值已知x+y+z=0,xyz=2,求|x|+|y|+|z|的最小值正数XYZ满足(X+Y)(X+Z)=2则XYZ(X+Y+Z)最大值已知 X+Y+Z=a xyz∈R+ 求证X^2+Y^2+Z^2>=(1/3)a^2 已知x,y,z是实数,且xyz=1,求证x^2+y^2+z^2+3大于等于2(xy+xz+yz)