平面几何欧拉定理是怎么证明的?画图

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/30 08:12:26

平面几何欧拉定理是怎么证明的?画图
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平面几何欧拉定理是怎么证明的?画图
设三角形的外接圆半径为R,内切圆半径为r,外心与内心的距离为d,则d^2=R^2-2Rr．
证明
　　O、I分别为⊿ABC的外心与内心．　　连AI并延长交⊙O于点D,由AI平分ÐBAC,故D为弧BC的中点．　　连DO并延长交⊙O于E,则DE为与BC垂直的⊙O的直径．　　由圆幂定理知,R2-d2=(R+d)(R-d)=IA·ID．（作直线OI与⊙O交于两点,即可用证明）　　但DB=DI（可连BI,证明ÐDBI=ÐDIB得）,　　故只需证2Rr=IA·DB,即2R∶DB=IA∶r 即可．　　而这个比例式可由⊿AFI∽⊿EBD证得．故得R^2-d^2=2Rr,即证．

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