一道简单的高一数学题设f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,对一切m,n∈(0,+∞),都有:f(m/n)=f(m)-f(n),且f(4)=1,解关于x的不等式f(x+6)-f(1/x)<2要详细过程,谢谢

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/06 15:42:05
一道简单的高一数学题设f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,对一切m,n∈(0,+∞),都有:f(m/n)=f(m)-f(n),且f(4)=1,解关于x的不等式f(x+6)-f(1/x)<2要详细过程,谢谢

一道简单的高一数学题设f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,对一切m,n∈(0,+∞),都有:f(m/n)=f(m)-f(n),且f(4)=1,解关于x的不等式f(x+6)-f(1/x)<2要详细过程,谢谢
一道简单的高一数学题
设f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,对一切m,n∈(0,+∞),都有:f(m/n)=f(m)-f(n),且f(4)=1,解关于x的不等式f(x+6)-f(1/x)<2
要详细过程,谢谢

一道简单的高一数学题设f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,对一切m,n∈(0,+∞),都有:f(m/n)=f(m)-f(n),且f(4)=1,解关于x的不等式f(x+6)-f(1/x)<2要详细过程,谢谢
由f(4)=f(16/4)=f(16)-f(4)=1,得f(16)=2
因为f(m/n)=f(m)-f(n),
f(x+6)-f(1/x)=f[x(x+6)]<2=f(16)
所以 f[x(x+6)]<f(16)
又因为f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,
所以x(x+6)<16,解得 -8<x<2
由于f(x)是定义在(0,+∞)上的,所以x+6>0,1/x>0,得x>0
综上所述不等式的解为 0<x<2

令m=n=1可得f(1)=f(1)-f(1)=0
f(x+6)-f(1/x)=f(x+6)-[f(1)-f(x)]=f(x+6)+f(x)<2
由f(4)=1可得
f(x+6)+f(x) f(x+6)-f(4) f[(x+6)/4] 由f(x)是定义...

全部展开

令m=n=1可得f(1)=f(1)-f(1)=0
f(x+6)-f(1/x)=f(x+6)-[f(1)-f(x)]=f(x+6)+f(x)<2
由f(4)=1可得
f(x+6)+f(x) f(x+6)-f(4) f[(x+6)/4] 由f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数可得
x+6>0,1/x>0,(x+6)/4<4/x
解得0

收起

令m=n=1得到f(1)=0
f(4)=f(1)-f(1/4) 得到f(1/4)=-1
f(16)=f(4)-f(1/4) 得到f(16)=2
不等式等价于f(x*(x+6))由单调性得到 x*(x+6)<16
解得 -8综合定义域 最后解为(0,2)

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