a,b均为有理数,且√a和√b都是无理数,求证：√a+√b是无理数.“√”是“根号”

a,b均为有理数,且√a和√b都是无理数,求证：√a+√b是无理数.“√”是“根号”
a,b均为有理数,且√a和√b都是无理数,求证：√a+√b是无理数.
“√”是“根号”

a,b均为有理数,且√a和√b都是无理数,求证：√a+√b是无理数.“√”是“根号”
用反证法,假设√a+√b为有理数.（1）
因为a,b均为有理数,
所以a-b=（√a+√b）（√a-√b）为有理数,（2）
根据（1）（2）,√a-√b为有理数.
所以（√a+√b）+（√a-√b）=2√a为有理数,√a为有理数,矛盾.
所以√a+√b为无理数

假设根号a+根号b为有理数,
则一定存在p, q属于正整数,
且p,q 互质, 使得p/q=根号a+根号b
则p^2=(根号a+根号b)^2q^2,
假设根号a+根号b可以被2除尽, p是偶数,
则p=2k, 则4k=(根号a+根号b)^2q^2,
所以q为偶数, 这与p, q互质矛盾,
所以在此情况下，假设有一反例, 假设不成...

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假设根号a+根号b为有理数,
则一定存在p, q属于正整数,
且p,q 互质, 使得p/q=根号a+根号b
则p^2=(根号a+根号b)^2q^2,
假设根号a+根号b可以被2除尽, p是偶数,
则p=2k, 则4k=(根号a+根号b)^2q^2,
所以q为偶数, 这与p, q互质矛盾,
所以在此情况下，假设有一反例, 假设不成立, 所以根号a+根号b为无
理数
方法2.
假设√a+√b=M（M≠0）是有理数
√a=M-√b
两边平方
a=M+b-2M√b
√b=(M+b-a)/2M
左边无理数,右边有理数,矛盾!
所以假设错误!
所以√a+√b不是有理数
所以√a+√b是无理数。

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假设√a+√b=M（M≠0）是有理数
√a=M-√b
两边平方
a=M+b-2M√b
√b=(M+b-a)/2M
左边无理数,右边有理数,矛盾!
所以假设错误!
所以√a+√b不是有理数
所以√a+√b是无理数。

√a和√b都是无理数
√a*√b是无理数
a+b是有理数
a+b+2√ab是无理数
（√a+√b）^2是无理数
若√a+√b是有理数
则（√a+√b）（√a+√b）也是有理数，与上面（√a+√b）^2是无理数矛盾
√a+√b是无理数。
实际证明，可以用这方法向上反推...

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√a和√b都是无理数
√a*√b是无理数
a+b是有理数
a+b+2√ab是无理数
（√a+√b）^2是无理数
若√a+√b是有理数
则（√a+√b）（√a+√b）也是有理数，与上面（√a+√b）^2是无理数矛盾
√a+√b是无理数。
实际证明，可以用这方法向上反推

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以上回答的前提是：有理数域关于加法和乘法是封闭的
也就是说
若a，b为有理数
则a＋b，ab都为有理数
这一封闭性可以由有理数的定义证明。证略。

嘟嘟红茶、czy9160证明明显不对，我来，但要先承认一个命题：两个有理数之差为有理数，这是显然的，因为两个有理数经过通分可以化为p/q形式（p,q为有理数）
若a=b，则√a+√b＝2√a，显然是无理数（因为√a不能用p/q（p,q为有理数表示）表示，则2√a也不能（否则只要2p/q即可，所以不能表示））
若a不等于b，则用反证法，若√a+√b为有理数，则√a+√b可以写成p...

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嘟嘟红茶、czy9160证明明显不对，我来，但要先承认一个命题：两个有理数之差为有理数，这是显然的，因为两个有理数经过通分可以化为p/q形式（p,q为有理数）
若a=b，则√a+√b＝2√a，显然是无理数（因为√a不能用p/q（p,q为有理数表示）表示，则2√a也不能（否则只要2p/q即可，所以不能表示））
若a不等于b，则用反证法，若√a+√b为有理数，则√a+√b可以写成p/q形式，而√a+√b＝（√a+√b）（√a-√b）/（√a-√b）＝(a-b)/(√a-√b),a,b为有理数，所以a-b为有理数，则√a-√b为有理数（因为它要满足p/q,分子为有理数，分母也是有理数），则（√a+√b）-（√a-√b）＝2√a为有理数（两个有理数之差为有理数），而我们知道2√a为无理数，所以推出矛盾
故√a+√b为无理数
为了说的彻底清楚，写得麻烦，其实思路很简单
呵呵，changyzh311与我方法一致
十年梦幻说的不错，我发现我关于两个有理数之差为有理数的证明，也是在封闭前提下，因为通分会出现加减法，所以这道题想要绝对严格的证明只怕并不容易

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用反正法，假设：√a+√b是有理数：√a，√b都大于0，两个有理数和必定为有理数
则：√a，√b都为有理数，与题目矛盾，得证

假设√a+√b是有理数，
设A为有理数，且A=s/t,B为有理数，且B=u/v,(其中s、t、u、v为整数）
对于一个无理数C，若A+C=B,则C=B-A=（ut-sv)/(vt)为有理数，矛盾
所以，A+C仍为无理数；（加与减相同）
同理，设A为有理数，且A=s/t,B为有理数，且B=u/v,(其中s、t、u、v为整数）
对于一个无理数C，若AC=B,则C...

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假设√a+√b是有理数，
设A为有理数，且A=s/t,B为有理数，且B=u/v,(其中s、t、u、v为整数）
对于一个无理数C，若A+C=B,则C=B-A=（ut-sv)/(vt)为有理数，矛盾
所以，A+C仍为无理数；（加与减相同）
同理，设A为有理数，且A=s/t,B为有理数，且B=u/v,(其中s、t、u、v为整数）
对于一个无理数C，若AC=B,则C=B/A=(ut)/(sv)为有理数，矛盾
所以，AC仍为无理数；
由于√b是无理数，
那么由假设（√a+√b）-2√b=√a-√b 为无理数；
则（√a+√b）（√a-√b）=a-b,为有理数，矛盾
所以，原假设不成立，即√a+√b为无理数

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