作业帮如何理解线性代数中的如下定理?设a1,a2,…,ar与b1,b2,…,bs是两个向量组,如果 （1）向量组a1,a2,…,ar可以经b1,b2,…,bs线性表出, （2）r>s, 那么向量组a1,a2,…,ar必线性相关.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 15:10:29
如何理解线性代数中的如下定理?设a1,a2,…,ar与b1,b2,…,bs是两个向量组,如果 （1）向量组a1,a2,…,ar可以经b1,b2,…,bs线性表出, （2）r>s, 那么向量组a1,a2,…,ar必线性相关.
如何理解线性代数中的如下定理?
设a1,a2,…,ar与b1,b2,…,bs是两个向量组,如果
（1）向量组a1,a2,…,ar可以经b1,b2,…,bs线性表出,
（2）r>s,
那么向量组a1,a2,…,ar必线性相关.
如何理解线性代数中的如下定理?设a1,a2,…,ar与b1,b2,…,bs是两个向量组,如果 （1）向量组a1,a2,…,ar可以经b1,b2,…,bs线性表出, （2）r>s, 那么向量组a1,a2,…,ar必线性相关.
首先了解线性相关的本质:至少存在一个向量可由其余向量线性表示.
也就是说,线性相关的向量组中有"多余"的向量
再来看看这个定理的结论:
一个"大"的向量组 若能由一个"小"的向量组线性表示,(r>s)
那么这个向量组中一定有"多余"的向量,即这个向量组线性相关.
用向量组的秩似乎容易说明：
向量组a1,a2,…,ar可以经b1,b2,…,bs线性表出，
故 向量组a1,a2,…,ar的秩<=b1,b2,…,bs的秩<=s,
假设向量组a1,a2,…,ar线性无关, 故向量组a1,a2,…,ar的秩=r，
所以r<=s，矛盾！
假如b1....s是线性无关的，那由这s个基向量组成r个向量时，必定线性无关
好像三维坐标，有三个基向量ijk，没法用这个东西表示出四个向量线性无关的吧。。。
如果b1....s是线性相关的，那结果更加显而易见
显然这些向量在一个至多s维空间里，
因为ai可以用bi表出，所以可以从bi中选出一些向量作为这个空间的基底，
而r>s，所以ai的数量大于基底的数量，所以必然线性相关。