f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(x)求证g(y)≤1

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 07:42:40

f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(x)求证g(y)≤1
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(x)求证g(y)≤1

f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(x)求证g(y)≤1
用反证法.
假设存在实数c,使|g(c)| > 1.
由f(x)不恒为0,任取实数a1,使f(a1) ≠ 0.
在条件中取x = a1,y = c得f(a1+c)+f(a1-c) = 2f(a1)g(c).
于是2|f(a1)g(c)| = |f(a1+c)+f(a1-c)| ≤ |f(a1+c)|+|f(a1-c)| (绝对值不等式).
由此,|f(a1+c)|与|f(a1-c)|中至少有一个不小于|f(a1)g(c)|.
因此存在实数a2,使得|f(a2)| ≥ |f(a1)|·|g(c)|.
再在条件中取x = a2,y = c,重复上述推理,
可知存在实数a3,使|f(a3)| ≥ |f(a2)|·|g(c)|.
依此类推,可构造数列a1,a2,a3,...
对数列中的第n项an,可知成立|f(an)| ≥ |f(a1)|·|g(c)|^(n-1).
由f(a1) ≠ 0,|g(c)| > 1,当n趋于无穷时,右端|f(a1)|·|g(c)|^(n-1)趋于正无穷.
但左端|f(an)| ≤ M,是有界的,矛盾.
因此假设不成立,|g(y)| ≤ 1对任意实数y成立.

收起

f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(x)求证g(y)≤1 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy f(xy)=f(x)+f(y),证明f(x/y)=f(x)-f(y) f(x+Y)+f(x-y)=2f(x)f(Y) 求其是偶函数急求证f（x+y）+f(x-y)=2f(x)f(y)是周期函数 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy,求证f(x)为周期函数若f(x)和g(x)都是定义域在R上的函数,且满足f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y),f(-2)=f(1)≠0,则g(1)+g (-1)= y=f(x) x(-l,l) 定义域关于原点对称了.F(x)=f(x)+f(-x)/2 ,G(x)=f(x)-f(-x)/2,F(x)和G(x)奇偶性是什么? 设f(x)=e的y次方,证明：（1）,f(x)f(y)=f(x+y) ,(2),f (x)/f(y)=f(x-y) 已知f(x)=3^x,求证：(1)f(x)·f(y)=f(x+y);(2)f(x)/f(y)=f(x-y). y=f(f(f(x))) 求导 f(x+y)+f(xy-1)=f(x)f(y)+2f(n)表达式 y=f(x), f[(x+y)/2] f(x+y)=f(x)-f(y),那么f(-x)=f(0)-f(-x)=-f(-x).2f(-x)=0? 导数：f(x+y)=f(x)f(y),且f'(o)=1,求f'(x)f(x+y)=f(x)f(y),且f'(o)=1,求f'(x)f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,且f'(o)存在,求f'(x) f(1+x)=af(x),且f'(0)=b,求f'(1) 高数：f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x),f'(0)=g(0)=1,f(0)=g'(0)=0证明f(x)在R上可导且f'(x)=g(x) f(x+y)=f(x)*f(y)说明什么?