作业帮数列题 已知f（x）=a1x+a2x^2+a3x^3+……+anx^n,已知f（x）=a1x+a2x^2+a3x^3+……+anx^n,n为正整数,且a1,a2,a3,……,an组成等差数列,又f(1)=n^2,f(-1)=n,试比较f（1/2）和3的大小
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 14:37:43
数列题 已知f（x）=a1x+a2x^2+a3x^3+……+anx^n,已知f（x）=a1x+a2x^2+a3x^3+……+anx^n,n为正整数,且a1,a2,a3,……,an组成等差数列,又f(1)=n^2,f(-1)=n,试比较f（1/2）和3的大小
数列题 已知f（x）=a1x+a2x^2+a3x^3+……+anx^n,
已知f（x）=a1x+a2x^2+a3x^3+……+anx^n,n为正整数,且a1,a2,a3,……,an组成等差数列,又f(1)=n^2,f(-1)=n,试比较f（1/2）和3的大小
数列题 已知f（x）=a1x+a2x^2+a3x^3+……+anx^n,已知f（x）=a1x+a2x^2+a3x^3+……+anx^n,n为正整数,且a1,a2,a3,……,an组成等差数列,又f(1)=n^2,f(-1)=n,试比较f（1/2）和3的大小
f(1)=a1+a2+……+an=(a1+an)*n/2=n^2
=>a1+an=2n
=>
2a1+(n-1)d=2n……1
f(-1)=-1a1+a2-a3+……+(-1)^n*an
若n为奇数
f(-1)=-a1+a2-a3+……-an=(n-1)/2*d-(a1+(n-1)d)
=-(n-1)/2*d-a1=n……2
由1,2得
n=0,矛盾.
所以n为偶数
f(-1)=-a1+a2-a3+……+an=n/2*d=n
=>d=2
=>
a1=1,an=2n-1
=>
f(1/2) = 1/2 + 3*(1/2)^2 +……+ (2n-1)*(1/2)^n
1/2*f(1/2) =(1/2)^2 + …… + (2n-3)*(1/2)^n + (2n-1)*(1/2)^(n+1)
=>
f(1/2)-1/2f(1/2)
=
1/2*f(1/2)
=1/2 + 2*((1/2)^2 + (1/2)^3 +……+(1/2)^n) - (2n-1)*(1/2)^(n+1)
<1/2 + 2*1/4 /(1-1/2)
=3/2
=>
f(1/2)<3
=>